Clasificación de funciones

Denominamos como (Clasificación y transformación de funciones) a la acción de otorgarle un medio de identificación a las funciones en base a las propiedades de las mismas, y a la disposición con respecto a la cual se dicte la función (Con respecto a que variable).

Por tanto, el hecho de tener una clasificación es más que nada por el concepto de poder identificar las mismas con mayor facilidad, pues si la identificación esta creada en base a las propiedades de las funciones… Entonces con tan solo conocer aquel nombre que le hemos dado a esa clase de funciones para identificarlas conocemos sus propiedades automáticamente.

Tendemos a organizar los tipos de funciones en primer instancia de acuerdo a su carácter por ejemplo: Si son algebraicas o transcendentales.

Refiriendonos a algebraicas a todas aquellas funciones obtenidas en base a las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación entre polinomios.


Por ejemplo:



En segundo lugar si las mismas tienen una estructura externa a base de un cociente, raíz o suma, diferencia. Asociando a las que tienen cociente como funciones algebraicas racionales a las que tienen raíz como funciones algebraicas irracionales y generalmente a las que tienen suma o diferencia como funciones algebraicas polínomicas.

Como en los ejemplos anteriores se pueden observar..

Existen otro tipo de funciones que generalmente son definidas como (funciones algebraicas a trozos) por el concepto de que en la representación gráfica de las mismas no todo es continuo, existen interrupciones en la manera en que la función se va representando por tal motivo se dicen que son a trozos.

Esto tienen que ver con el otro lado de la sub-clasificación de las funciones que si son continuas o discontinuas, ya que estos términos tambien se utilizan como medio de clasificación solo que no en el contexto del álgebra sino que es más bien una clasificación que se detalla cuando se estudia el analísis de las funciones ya que la determinación de si es continua o no esta vinculado con la idea de la derivada. Como más adelante se observará.

Por otro lado, existen otro tipo de funciones las cuales no estan basadas en un carácter algebraico tales funciones las llamamos : funciones transcendentales.

Donde definimos a las mismas como aquellas funciones que se encuentran basadas en las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonometrícas y trigonometrícas inversas.


Por ejemplo:



Por tanto definimos entonces la siguiente clasificación en general:



El hecho de una (Transformación en una función) implica directamente vincular la función con respecto a una variable sea (x o y o cualquier otra) de tal manera que tomamos ahora como criterio de apunte el sentido contrario de una función, a esta analogía hemos denominado (función inversa).

Por ejemplo:

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Muchas veces se preguntan el motivo por el cual se ha de estudiar una materia u otra, pues bien, así mismo,  el cálculo no puede ser la excepción a este tipo de preguntas, la mayoría de las veces surge esta pregunta por la complejidad del desarrollo del cálculo o por su aparente ¨nula¨ aplicación en la vida cotidiana.

Es por ello que TERRA CÁLCULO trae para ti el siguiente video, en el cual podrás observar más sobre los antecedentes de la materia y además la importancia y aplicación del cálculo en la vida cotidiana.

Dominio, Codominio y Rango

Denominamos como (Dominio, Codominio y Rango) aquellos términos utilizados para expresar el conjunto de inicio y el conjunto de salida en la aplicación de una función a dos conjuntos determinados, no vacíos.

Por tanto, podría decirse que es una manera de llamar a los elementos de una función al límite de los conjuntos.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un conjunto X = {1,2,3} y un conjunto Y = {2,4,6} y ambos se encuentran sometidos a la idea de una función (y=x*x), entonces tenemos un escenario como el siguiente:



El cual involucra tanto a los conjuntos como a la función, indicándonos que los elementos de X tienen una relación con elementos existentes en un conjunto Y ,solo que estos son definidos o sea quien le toca quien…Por la relación que se traduce en función. Y no por un agente externo.

Y con el fin de diferenciar al conjunto inicial X formado con todos aquellos valores que puede tomar la función de otros es llamado (Dominio), contrariamente al (Rango) o (Codominio) que nos es más que el conjunto final el cual esta formado por todos aquellos valores obtenidos en base a la función u proceso de las mismas operaciones de la función.

Es más que nada por el asunto de la confusión que presentarse en la manera en que nos referirnos a aquellos conjuntos que están delimitando los correspondientes valores de entrada y salida en una función determinada.

Representación de una función

Denominamos a las diversas formas de representación de una función, como el hecho de dar a conocer ya sea simbólicamente o gráficamente una relación la cual posee lógica y sentido.

Como ya se había comentado anteriormente, el concepto de “Función matemática” otorga muchas libertades en cuanto a como puede ser expresada la misma. Ya sea gráficamente a través de un plano cartesiano, que relacione magnitud a magnitud como en posible ver en las misma temática, diagramas de venn o simbólicamente a través del álgebra convencional.

Siendo ambas representaciones ampliamente utilizadas, ya que generalmente se utiliza la parte simbólica como principal vía y la parte gráfica como complementaria.

El hecho que citemos a los diagramas de venn (Que son una clase de diagramas para denotar conjuntos en teoría de conjuntos) es por el motivo de que una función puede ser expresada de alguna manera a base de operaciones en teoría de conjuntos las cuales tienen cabida en una representación gráfica basada en los diagramas, es por ello que se comenta tal cosa.

Por tanto denominamos a toda esta concepción como la Nomenclatura de una función.

Definimos típicamente a manera gráfica una función como:



Y se lee “f en función de x es igual a y”.

Por ejemplo:



Se lee “f en función de x es igual a 2 veces x más 3″.

‘’Por mencionar solo un ejemplo, porque existe la posibilidad de expresar la misma en términos de dos conjuntos no vacíos (A,B) en los cuales el primer conjunto (A) cada uno de sus elementos esta relacionado con un elemento de un segundo conjunto (B), denotando esto como:



Y se lee “f” es una función de A a B.

Siendo esta manera una opción alterna, en caso de querer generalizar la idea al límite de los conjuntos..

Gráficamente esta misma concepción puede ser plasmada de algún modo a base del criterio de un plano bidimensional ya que la noción no es posible si no se toma en el contexto de que no es posible plasmar una relación con 4 elementos implicados ya que no existe una percepción 4D que podamos plasmar gráficamente si se toma en este sentido, por otro lado aceptando que es en un plano bidimensional ambos valores de tanto la variable independiente como dependiente son tomados y colocados en una secuencia de elementos (x,y) que denominamos par ordenado.

Donde este par ordenado justamente va a constituir un punto en el plano y todos aquellos puntos con respecto a esta relación serán la función y por ende generan una representación gráfica aceptando el criterio de que la secuencia es vista como un punto.

Ejemplo


Como se puede observar la noción de función es muy poderosa pues permite por un lado establecer relaciones y por otro lado modelar (N) formas geométricas desde un contexto simbólico o gráfico permitiendo expresar y análisis complejas situaciones sin tanta dificultad en ello.

Funciones

El curso de Cálculo Diferencial e Integral empieza con el estudio de las funciones.

Denominamos Función a una variable que en cierta manera depende de otra, ya que la otra en ejecución con operaciones matemáticas es lo que da lugar a la variable de la primera.

Informalmente podríamos decir que, un valor es sometido a operaciones obteniendo un nuevo valor y ese nuevo valor claramente depende de las operaciones ejercidas.

Por tanto, es por ello que se llama a tal relación “Función” ya que se dice que se puso en función una variable sometiéndola a operaciones con el fin de obtener otra.

Ejemplos:




Destacando que la idea central de lo que representa una función no queda simplemente en el hecho de poner en un función una variable, ya que es posible someter en función cualesquiera cantidad de variables para obtener otro u otros como el último ejemplo de los anteriores lo destaca.

De no ponerse en función ninguna variable no tendría sentido pensar en una función ya que la variable de salida fuera una constante pues no hubiera un nuevo valor distinto del original.

Justamente de esta manera de observar el panorama es que se obtiene parte de la clasificación de las funciones ya que denominamos:

- Funciones de una variable.
Son aquellas funciones las cuales su integridad dependen solo de una variable puesta en función.

Como por ejemplo:

- Funciones de varias variables.
Son aquellas funciones las cuales su integridad dependen de varias variables puestas en función.

Como por ejemplo:


La notación más común en la cual son dictadas es haciendo referencia a través de un indicador cualesquiera y las variables que se están poniendo en función para expresar otra variable.

Cabe destacar que las magnitudes son expresadas en términos de variables (símbolos que pueden tomar distintos valores) por lo que una variable puede representar una magnitud, es por ello que se observa esta estructura:



Otorgando nombres tanto a la nueva variables (magnitud) que se obtiene de poner en función otras magnitudes (variables), como a las mismas con un nombre particular para denotar su puesto con respecto a esta relación.

Variable dependiente o (Magnitud dependiente): Es aquella producto del hecho de poner en función otras variables y ejercer operaciones sobre ellas.

Variables independientes o (Magnitudes dependientes): Son aquellas las cuales se ponen en un función en determinado momento para obtener una variable dependiente.

Como se puede observar una a otra se encuentran en una relación la cual no puede existir si una o una(s) no existen por consecuencia.

ANTECEDENTES DEL CÁLCULO Y MÁS

Antecedentes del Cálculo

El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del Cálculo. 

Sobresalieron entre sus iniciadores John Wallis, profesor de la Universidad de Oxford e Isaac Barrow, profesor de Newton en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Pero un método general de diferenciación e integración fue descubierto solo hacia 1665 por el Inglés Isaac Newton y posteriormente por Gottfried Wilhelm Von Leibniz, nacido en Leipziy, Alemania, por lo que a ellos se les atribuye la invención del Cálculo.

                      

JOHN WALLIS                                                                                               ISAAC BARROW

En la actualidad el Cálculo se aplica al estudio de problemas de diversas áreas de la actividad humana y de la naturaleza: la economía, la industria, la física, la química, la biología, para determinar los valores máximos y mínimos de funciones, optimizar la producción y las ganancias o minimizar costos de operación y riesgos.